Absolute Analysis by F R Nevanlinna

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By F R Nevanlinna

Das vorliegende Werk ist als Ergebnis von Vorlesungen entstanden, welche die Verfasser seit 1953 im Laufe von mehreren Jahren an den Universitäten Helsinki und Zürich gehalten haben. Die nachfolgende Einleitung gibt über die Tendenzen Aufschluß, die für unsere Darstellung der Grundlagen einer absoluten, koordinaten- und dimensionsfreien Infinitesimalrechnung maßgebend gewesen sind. Die Lektüre setzt an Vorkenntnissen nur wenig voraus; sie kann jedem Studierenden emp­ fohlen werden, der mit dem üblichen, auf die Benutzung von Koordi­ naten fußenden Aufbau der Elemente der analytischen Geometrie, der Differential- und Integralrechnung und der Theorie der Differential­ gleichungen vertraut ist. Unsere Arbeit ist durch die Hilfe wesentlich erleichtert worden, die uns von mehreren Seiten zuteil geworden ist. Herr Ilppo Simo Louhi­ vaara hat von Anfang bis zu Ende an der Herstellung dieses Werkes mit unermüdlichem Interesse und minutiöser Sorgfalt teilgenommen und durch zahlreiche sachliche und formelle Bemerkungen und Vor­ schläge unsere Arbeit wesentlich gefördert. Für seine wertvolle, auf­ opfernde Unterstützung sprechen wir hier unseren herzlichen Dank aus. Den Herren H. Keller, T. Klemola, T. Nieminen, Ph. Tondeur und ok. 1. Virtanen, die unsere Darstellung im Manuskript gelesen haben, verdanken wir verschiedene wichtige kritische Bemerkungen. Unser Dank gilt auch Herrn Professor Dr. F. ok. Schmidt für die Aufnahme dieses Werkes in die Reihe der Grundlehren der mathema­ tischen Wissenschaften, und dem Springer-Verlag, der unseren Wünschen mit freundlicher Bereitwilligkeit entgegengekommen ist.

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Ym = det (}; )=1 andererseits D YI ... Ym = det (17i) D Xl • . • am und folglich, da D a l ... 3. Orientierung eines Simplexes. 5 Gesagte beziehen, betrachten wir in einem linearen Raum Rn ein m-dimensionales (m ~ n) Simplex sm (x o, ... , x"J mit den Ecken x o , ... , X m und linear unabhängigen Kanten Xl - X O , . . , X m - X o · Diese Kanten erzeugen einen m-dimensionalen Unterraum um, und das Simplex liegt in einer mit diesem Raum um parallelen Hyperebene Ern, dessen Punkte X = i :l:'" =0 fli Xi in bezug auf das Simplex eindeutige baryzentrische Koordinaten mit m :l: i= 0 fli = fli 1 haben.

Es existieren in R m solche Koordinatensysteme em , daß , ... , (*) Bei ej = 0 für i =1= j, B er + er = + 1 oder = - 1 oder = o. er Ist dann B = 1 für i = 1 , ... , p, B = - 1 für i = P 1 , ... , p q und B = 0 für i = P q 1 , ... ), folglich gespannten linear unabhängigen Unterräume UP, + + + er + + + vq, Rm = UP + vq + W', so bestehen folgende I nvarianzen : Die Dimensionen p, q, r der genannten Unterräume sind für jedes Koordinatensystem mit den Eigenschaften (*) invariante für die Funktion B charakteristische Zahlen, und der Unterraum sogar an und für sich invariant.

Beweis des Satzes. Nach diesen Vorbereitungen beweisen wir jetzt allgemein die behauptete Additivität von L1, wobei wir, wie 51 § 5. Multilineare Funktionen schon erwähnt, uns auf simpliziale Zerlegungen sm(xo, ... , x m ) = L: lc sZ'(x~, ... , x~) des Simplexes sm beschränken können. Indem wir mit x einen vorläufig beliebigen Punkt der Ebene von sm bezeichnen, haben wir nach Hilfssatz B für jedes k m LI(x~, ... , x~) =:' somit 2: lc L: i=O LI(x~, ... , x~) = LI(x~, ... m L: L: lc i=O x, ,Xr-1' LI(x~, ...

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